Proprietà dei determinanti

  1. Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli, il determinante è 0.
  2. Il determinante della matrice unità di qualsiasi ordine è 1.
  3. Se si moltiplicano tutti gli elementi di una riga o di una colonna per uno scalare k, il determinante risulta moltiplicato per k.
    Esempio: le seguenti matrici differiscono solo per la seconda colonna, precisamente nel determinante di B la seconda colonna è uguale alla seconda colonna di A moltiplicata per 3; calcolare i rispettivi determinanati e verificare la proprietà enunciata.


  4. Se due righe (o colonne) sono uguali o proporzionali, il determinante è 0.
    Esempio: nel seguente determinante la terza colonna è uguale alla prima moltiplicata per -2; verificare che il deteminante è nullo.

  5. Se una riga (o colonna) è combinazione lineare di 2 o più altre righe (o colonne), il determinante è nullo.
  6. Se si scambiano tra loro 2 righe o 2 colonne, il determinante risulta cambiato di segno.
  7. Il determinante del prodotto di 2 matrici è il prodotto dei loro determinanti (teorema di Binet).
  8. Se agli elementi di una riga (o di una colonna) si sommano gli elementi di un'altra riga (o colonna) tutti moltiplicati per uno stesso numero, il determinante non cambia. Questa proprietà può essere applicata per annullare tutti gli elementi, tranne uno, di una riga (o colonna) ed efffettuare il calcolo con maggior semplicità. In particolare, con questo principio, si può diagonalizzare la matrice ed applicare la proprietà successiva.
  9. Il determinante di una matrice triangolare o diagonale è il prodotto degli elelmenti della diagonale principale.