Disequazioni logaritmiche

In forma elementare sono del tipo:

log a A ( x ) < b   =>   log a A ( x ) < log a a b

log a A ( x ) > b   =>   log a A ( x ) > log a a b

Ad una forma analoga si pu˛ sempre pervenire utilizzando le proprietÓ dei logaritmi. Si distinguono due casi:

  1. Funzione logaritmica crescente: base a > 1

    log a A ( x ) > log a a b   =>   A ( x ) > a b
    log a A ( x ) <log a a b   =>   0 < A ( x ) < a b

    ovvero, posta opportunanamente la condizione di realtÓ, si mantiene tra gli argomenti lo stesso verso della disuguaglianza presente tra i logaritmi.
  2. Funzione logaritmica decrescente: base 0 < a < 1

    log a A ( x ) > log a a b   =>  0 < A ( x ) < a b
    log a A ( x ) < log a a b   =>   A ( x ) > a b

  3. quindi, posta opportunanamente la condizione di realtÓ, si inverte tra gli argomenti il verso della disuguaglianza presente tra i corrispondenti logaritmi.
Osservazione
:
se per ottenere la forma normale sono state applicate le proprietÓ dei logaritmi, la disequazione risolvente deve essere messa a sistema con le condizioni di realtÓ dei singoli argomenti.

Esercizi:

log1/3 x < 0 r. : x > 1
log2 x > - 2 r. : x >1/4
1 < log3 x < 3 r. : 3 < x < 27
2 log x - log (x + 1) > 2log2 r. : 1 < x < 2 v x > 2
log x + log ( x + 3 ) < 1 r. : 0 < x < 2
r. : x > 3

Disequazioni con cambiamento di variabile:

log1/32 x + log1/3 x - 2 ≤ 0 r. : 1/3 ≤ x ≤ 9
log x - 2 /log x + 1 ≥ 0 r. : 1/100 ≤ x < 1 v x ≥ 10

Disequazioni con cambiamento di base:

log2 x + logx 2 ≤ 2 r. : 0 < x < 1 v x = 2
  r. :

Alcune disequazioni particolari:

log log (x2 - 6 ) < 0 r. : - 4 < x < -√7 v √7 < x < 4
  r. :

Disequazioni con valore assoluto:

| log2 x - 4 | > 5 r. : 0 < x < 1/3 v x > 29
5 - log2 | x + 1| > 0 r. : - 33 < x < 31 ∧ x ≠ -1
log2 | x | - log2 ( x + 1 ) ≤ 0