FUNZIONE ESPONENZIALE

Definizione:
dato x ∈ R, la legge che associa x → a x , con a > 0 e diverso da 1, è detta funzione esponenziale.

Si distinguono i seguenti casi:

Caratteristiche:

Dominio: R
Codominio: R +
Segno: y = a x > 0 ∀ x ∈ R
Funzione monotona decrescente , biettiva ( e pertanto invertibile )
Passa per (0,1)

 

Caratteristiche:

Dominio: R
Codominio: R +
Segno: y = a x > 0 ∀ x ∈ R
Funzione monotona crescente , biettiva ( e pertanto invertibile )
Passa per (0,1)

Questi grafici sono alla base della risoluzione di equazioni/disequazioni esponenziali.
Particolarmente semplice risulta l’interpretazione grafica del seguente teorema: dati a, b ∈ R +, con a ≠ 1, l’equazione a x = b ammette una e una sola soluzione se b > 0 , è impossibile se b ≤ 0(vedere equazioni esponenziali ).

Approfondimento
  1. Dai precedenti grafici se ne possono facilmente derivare altri applicando le trasformazioni geometriche.
    Per esempio dal grafico della funzione y = 2 x è possibile ottenere:
    il grafico di y = 2 x + 1 con una traslazione orizzontale verso sinistra;
    il grafico di y = 2 x - 1 con una traslazione orizzontale verso destra.
    Confronta i grafici.

  2. Notiamo che l'unico punto comune ad ogni funzione esponenziale è il punto (0,1). Se ne deduce che:
    a x = b x ⇒ x = 0 .