EQUAZIONI ESPONENZIALI
Sono equazioni in cui l’incognita figura all’esponente.
Quelle elementari si presentano nella forma:
Graficamente, questa equazione può essere considerata come l’equazione risolvente del sistema:
Dalla cui interpretazione grafica:
appare evidente che la soluzione esiste ed è unica se:
- a > 0 e diverso da 1 (condizione perché sia definita la funzione esponenziale)
- b > 0 (condizione affinché la retta y = b intersechi il grafico della funzione esponenziale)
Per risolvere le equazioni esponenziali, distinguiamo i seguenti casi:
1. Equazioni in cui si possono uguagliare le basi (utilizzando le proprietà delle potenze ):
=> f(x) = g(x)
che è un’ equazione da risolvere con i metodi algebrici consueti.
Es.1:
. . . da risolversi come
solita equazione fratta. Soluzioni: x 1 = 3 , x 2 =
- 6.
Es.2:
Talvolta non è possibile applicare direttamente le proprietà delle potenze,
ma è necessario effettuare prima un raccoglimento come nell'equazione:
2. Equazioni in cui compaiono basi diverse(ma si possono uguagliare gli esponenti).
1° metodo: separare le basi per avere la forma: 
=> f(x) = 0 , essendo x = 0 l’unico punto che esponenziali con basi
diverse hanno in comune
| Es.: |  |
| Separare le basi (portando l’una al primo membro, l’altra al secondo): |  |
| Compattare l’espressione utilizzando le proprietà delle potenze: |  |
| Evidenziare l’uguaglianza degli esponenti: |  |
| Uguagliare a zero l’ esponente comune e risolvere: |  |
2°metodo: ottenere un’espressione moltiplicativa con gli esponenziali dalla stessa parte dell’uguaglianza e 1 dall’altra; uguagliare a 0 l’esponente comune.
| Es.: | |
| Portare gli esponenziali a sinistra: |  |
| Applicare la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base: |  |
| Applicare la proprietà del prodotto di potenze con lo stesso esponente: |  |
| L’equazione è equivalente a: |  |
3. Equazioni in cui si può effettuare un cambiamento di variabile ( da applicare in presenza di esponenziali con la stessa base ed esponenti multipli o opposti, oppure quando gli stessi si trovano contemporaneamente al numeratore e denominatore di una frazione).
Es.1:
4 x + 2 x + 2 – 12 = 0
2 2x + 4 · 2 x– 12 = 0
Posto: 2 x = y => 2 2x = y 2 si ha:
y 2 + 4y – 12 = 0
y 1 = 2 => 2 x = 2 => x = 1
y 2 = - 6 => 2 x = - 6 è impossibile perché l’esponenziale è sempre positivo.
Es. 2:
Posto 3 x = y => 3 - x = 1/ y si ha:
Riducendo allo stesso denominatore:
Risolvendo:
y 1 = 9 => 3 x = 9 => x = 2
y 2 = 3 => 3 x = 3 => x = 1
Es.3:
Posto: 4 x = y si ha:
risolvendo l'equazione si trova: y = 4 => 4 x = 4 => x =
1
4. Equazioni in cui si hanno basi diverse ed esponenti diversi.
Per risolvere questo tipo di equazione è necessario far ricorso ai
logaritmi (vedere UD corrispondente).