EQUAZIONI ESPONENZIALI

Sono equazioni in cui l’incognita figura all’esponente.
Quelle elementari si presentano nella forma:

Graficamente, questa equazione può essere considerata come l’equazione risolvente del sistema:

Dalla cui interpretazione grafica:

appare evidente che la soluzione esiste ed è unica se:

Per risolvere le equazioni esponenziali, distinguiamo i seguenti casi:

1. Equazioni in cui si possono uguagliare le basi (utilizzando le proprietà delle potenze ):

=> f(x) = g(x)

che è un’ equazione da risolvere con i metodi algebrici consueti.

Es.1:



. . . da risolversi come solita equazione fratta. Soluzioni: x 1 = 3 , x 2 = - 5.

Es.2:
Talvolta non Ŕ possibile applicare direttamente le proprietÓ delle potenze, ma Ŕ necessario effettuare prima un raccoglimento come nell'equazione:





2. Equazioni in cui compaiono basi diverse(ma si possono uguagliare gli esponenti).

1° metodo: separare le basi per avere la forma: => f(x) = 0 , essendo x = 0 l’unico punto che esponenziali con basi diverse hanno in comune

Es.:
Separare le basi (portando l’una al primo membro, l’altra al secondo):
Compattare l’espressione utilizzando le proprietà delle potenze:
Evidenziare l’uguaglianza degli esponenti:
Uguagliare a zero l’ esponente comune e risolvere:

2°metodo: ottenere un’espressione moltiplicativa con gli esponenziali dalla stessa parte dell’uguaglianza e 1 dall’altra; uguagliare a 0 l’esponente comune.

Es.:
Portare gli esponenziali a sinistra:
Applicare la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base:
Applicare la proprietà del prodotto di potenze con lo stesso esponente:
L’equazione è equivalente a:

3. Equazioni in cui si può effettuare un cambiamento di variabile (da applicare in presenza di esponenziali con la stessa base ed esponenti multipli o opposti, oppure quando gli stessi esponenziali si trovano contemporaneamente al numeratore e denominatore di una frazione).

Es.1:
4 x + 2 x + 2 – 12 = 0

2 2x + 4 · 2 x– 12 = 0

Posto: 2 x = y => 2 2x = y 2 si ha:

y 2 + 4y – 12 = 0

y 1 = 2 => 2 x = 2 => x = 1

y 2 = - 6 => 2 x = - 6 è impossibile perché l’esponenziale è sempre positivo.

Es. 2:
3x - 1 = 4 - 3 2 - x
3x · 3- 1 = 4 - 3 2 · 3 - x
Posto 3 x = y => 3 - x = 1/ y si ha:
y · 3- 1 = 4 - 3 2 · 1/y
Riducendo allo stesso denominatore:

Risolvendo:
y 1 = 9 => 3 x = 9 => x = 2
y 2 = 3 => 3 x = 3 => x = 1

Es.3:

Posto: 4 x = y si ha:

risolvendo l'equazione si trova: y = 4 => 4 x = 4 => x = 1

4. Equazioni in cui si hanno basi diverse ed esponenti diversi.

Per risolvere questo tipo di equazione è necessario far ricorso ai logaritmi (vedere UD corrispondente).